Statische Berechnungen von Stabwerken

Statique de treillis

Un treillis est déterminé par les coordonnées d'un nombre NK de nœuds et un nombre NS de liens droit chacun entre deux nœuds. Les liens ont une masse et des forces d'une charge peuvent être spécifiées pour chaque nœud. Le treillis repose sur deux culées (deux nœuds spécifiques), où il faut distinguer deux cas :

1. Le treillis autoporteur qui a une liaison rigide entre les culées. Pour que ce treillis soit déterminé, une condition doit être relachée. Ceci est obtenu en définissant une culée glisseuse. Celle-ci est définie par le vecteur normal par rapport à la plaine de glisse.
2. Le treillis pendulaire qui nécessite deux culées fixes

Définition formale du problème

Sont donnés un nombre NK de nœuds et un nombre de liens ainsi que deux nœuds pour lesquels les forces de culée sont cherchés. Chaque lien cause des forces de gravitation à chaque bout dans le nœud correspondant. Des forces de charge attaquent dans les nœuds. Toutes les forces sont notées comme des vecteurs à deux composantes, par cas aussi comme angle et montant de la force.

Sont à déterminer :

1. Valeurs scalaire des montants de force dans chaque lien
2. Les composantes du vecteur de la force d'appui A
3. A la culée B
   1. Valeur scalaire du montant de la force normale dans le cas d'un treillis autoporteur
   2. Vecteur de la force d'appui dans la l'autre cas

Corollaire

Comme les nœuds restent immobils, la somme des forces dans chaque nœud est égale à zéro

Comme les liens restent immobils, la somme des forces dans chaque lien est égale à zéro

Comme le treillis reste immobil, la Somme de toutes les forces exogènes (forces de gravitation, de charge et d'appui) est égale à zéro

Système d'équations

Le système d'équations définit la condition d'équilibre pour chaque composante du vecteur de force pour chaque nœud et contient donc 2 NK équation dans autant de lignes

Pour un treillis autoporteur, nous trouvons les inconnues suivantes:

1. NS valeurs scalaries pour les montants de force des liens
2. deux composantes de la force d'appui dans A
3. une valeur scalaire pour le montant de la force normale à l'appui B

Nous trouvons la condition pour le nombre NS de liens du treillis : NS = 2NK - 3

Dans le cas d'un treillis pendulaire, nous trouvons les valeurs inconnues suivantes :

1. NS valeurs scalaires pour les montants de force des liens
2. deux composantes de la force d'appui dans A
3. deux composantes de la force d'appui dans B

Alors pour ce cas le nombre NS de liens est égal à : NS = 2NK - 4

Si le système d'équations peut être résolu, c'est-à-dire la déterminante de la matrice A est différente de zéro, le vecteur de solution contient tous les éléments cherchés :

Appliqué aux nœuds et liens nous obtenons le diagramme des forces :

Outil d'analyse

QRS offre un outil Excel pour analyser un treillis de cette façon simple. Les graphiques proviennent des feuilles de tableur de l'outil. La version actuelle permet de définir 10 nœuds et 16 ou 17 liens au maximum, selon le cas statique. L'angle de la force de gravitation peut être défini librement, ce qui permet d'incliner le treillis par rapport à l'horizon.

Littérature :

Löwe, Harald; Statik von Fachwerken; TU Braunschweig, Institut for computational mathematics, D-38106 Braunschweig, Deutschland

Wandinger, Johannes; Einfache ebene Tragwerke; Hochschule München