De quoi s'agit-il?
Avant de nous pencher sur la discussion des splines, nous considérons une courbe passant par deux points, ce qui correspond à un segment de spline.
Une courbe de degré 3 est déteminée par les quatre coefficients a, b, c, d par
f(x) = a + bx + cx2 + dx3
Contraintes
Etant donné deux points P0 = (x0,y0) und P1 = (x1,y1), les deux premières contraintes suivent directement
| a + bx0 + cx02 + dx03 = y0 | I |
| a + bx1 + cx12 + dx13 = y1 | II |
Afin de recevoir un système d'équations déterminé, deux contraintes supplémentaires sont nécessaires, à titre d'exemples :
- Montées m0 und m1 dans les deux points :
b + 2cx0 + 3dx02 = m0, b + 2cx1 + 3dx12 = m1 - Montée m0 et courbature u0 auprès du point P0 :
b + 2cx0 + 3dx02 = m0, 2c + 6dx0 = u0 - Courbatures u0 et u1 auprès des deux ponts :
2c + 6dx0 = u0, 2c + 6dx1 = u1
Cas 3: Courbatures auprèd des deux points
Les deux conditions pour les courbatures peuvent joindre les deux conditions pour y0 et y1 directement dans le système d'équations
| y0 = a + bx0 + cx02 + dx03 | I |
| y1 = a + bx1 + cx12 + dx13 | II |
| u0 = 2c + 6dx0 | III |
| u1 = 2c + 6dx1 | IV |
L'utilisation de la différence des courabures à partir IV - III se prète pour déterminer d :
| u1 - u0 = 6d(x1 - x0) | IV - III |
| d = (u1 - u0)/6(x1 - x0) |
Ensuite, par les équations III et IV permettent de déterminer c, et via II-I encore b:
| y1 - y0 = b(x1 - x0) + c(x12 - x02) + d(x13 - x03) | II-I |
| b = ((y1 - y0) - c(x12 - x02) - d(x13 - x03))/(x1 - x0) |
Finalement a peut être trouvé par une des équations I ou II.
Graphs
La possibilité ci-haute et deux autres de passer une courbe de degré 3 à travers deux points sont illustrées dans le graphique ci-dessous :
Commentaires :